Bestämda integraler

Hem / Historia, Vetenskap & Forskning / Bestämda integraler

Här är några exempel:

  1. Beräkning av Area: Beräkning av områden under kurvor är en av de mest direkta tillämpningarna av integraler.
  2. Volymberäkning: Med hjälp av integraler kan man beräkna volymen av roterade kroppar.
  3. Fysik: Beräkning av arbete, energi och centrum av massa.
  4. Ekonomi: Bestämning av konsumentöverskott och producentöverskott.
  5. Differentialekvationer: Lösning av differentialekvationer kräver ofta integrering.

Exempel på Integraler inom Fysik

Beräkning av Arbete

Inom fysik definieras arbete som:

[latex]
W = \int_{a}^{b} F(x) , dx
[/latex]

Där [latex]F(x)[/latex] är kraften som appliceras längs en bana från punkt [latex]a[/latex] till punkt [latex]b[/latex].

Vi behöver veta bredden på ett område.

Funktionen är ovan och under x-axeln.

Vi bestämmer arean genom att dela in den i två, \( 0 \) till \( \dfrac{\pi}{2} \) och \( \dfrac{\pi}{2} \) till \( \pi \).

Vår funktion är ovanför x-axeln.

Vi får

\( \begin{array}{rcl} A & = & \displaystyle\int_1^2 \dfrac{3}{5x} \mathrm{\,d}x \\ & = & \bigg/_1^2 \dfrac{3}{5}\ln x \\ & = & \dfrac{3}{5}(\ln 2 - \ln 1) \\ & = & \dfrac{3}{5}\ln 2 \end{array} \)

  • Bestäm \( \displaystyle\int_1^3 \dfrac{1}{2x}+1 \mathrm{\,d}x \).

    Derivatans nollställen är \( f'(a) = 0\) då \( 2a+2 = 0 \), alltså \( a = -1 \).

    Då \( f'(0) = 2 > 0 \) och \( f'(-2) = -2 < 0 \) har vi ett minsta värde i \( a = -1 \).

    Då \( a = -1 \).

    • Definition

    Integration är ett grundläggande begrepp inom analys som representerar den totala ackumuleringen av en storhet, såsom arean under en kurva.

    Om funktionen växlar mellan positiv och negativ, kommer integralen att representera nettoområdet, det vill säga det totala området ovanför x-axeln minus det totala området under x-axeln.

    Grundläggande Integrationsregler

    Här är några grundläggande integrationsregler som är viktiga att känna till:

    1. Konstantregel:

    [latex]
    \int k , dx = kx + C
    [/latex]

    Där [latex]k[/latex] är en konstant.

    Potensregel:

    [latex]
    \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
    [/latex]

    Summationsregel:

    [latex]
    \int [f(x) + g(x)] , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx
    [/latex]

    Konstantfaktorregel:

    [latex]
    \int k \cdot f(x) , dx = k \int f(x) , dx
    [/latex]

    Tillämpningar av Integraler

    Integraler används i många områden inom vetenskap och teknik.

    Alltså \( x = -2,82 \) och \( x=0,32 \). \)

    Exempel 1 Bestäm \( \displaystyle\int_1^4 (2x^3 - 4)\mathrm{ d}x \).

    Lösning

    \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_1^4 (2x^3 - 4)\mathrm{ d}x & = & \bigg/_1^4 \; 2\cdot \dfrac{1}{4}x^4-4x \\ \\ & = & \bigg/_1^4 \; \dfrac{1}{2}x^4-4x \\ & = & (\dfrac{1}{2}\cdot4^4-4\cdot 4)- (\dfrac{1}{2}\cdot 1^4-4\cdot 1) \\ & = & 112 - (-3\dfrac{1}{2})= 115\dfrac{1}{2}\\ \end{array} \)

    Insättning av gränserna för den bestämda integralen betecknas med \( \bigg/_a^b \).

    För en bestämd integral gäller alltså att \( \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x = \bigg/_a^b \;F(x)=F(b)-F(a) \).

    Den bestämda integralen har följande egenskaper:

    • \( \displaystyle\int_a^b (f(x)+g(x))\mathrm{ d} x = \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{ d} x+\displaystyle\int_a^b g(x)\mathrm{ d} x \).

      Jobbat med elearning sedan 2016. Använd huvudet och förenkla först.

    1. \( \displaystyle\int_1^e (\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x}) \textrm{ d}x - \displaystyle\int_1^e (\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x}) \textrm{ d}x \).

      \( \displaystyle\int_1^e (\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x}) \textrm{ d}x - \displaystyle\int_1^e (\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{x}) \textrm{ d}x = -2\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x} = -2 \)

    2. \( \displaystyle\int_{-2}^3 \sin^2 x \textrm{ d}x - \displaystyle\int_{3}^{-2} (\cos^2 x + 5) \textrm{ d}x \)

      \( \displaystyle\int_{-2}^3 \sin^2 x \textrm{ d}x - \displaystyle\int_{3}^{-2} (\cos^2 x + 5) \textrm{ d}x = \displaystyle\int_{-2}^3 \sin^2 x + \cos^2 x +5 \textrm{ d}x = \displaystyle\int_{-2}^3 1+5 \textrm{ d}x = 30 \)

  • För vilket värde på \( a \) gäller att \( \displaystyle\int_{a}^{a+1} (2x-3) \textrm{ d}x = 6 \).

    bestämda integraler

    \)

    Exempel 3 Bestäm \( \displaystyle\int_0^\pi \sin x \mathrm{ d} x+ \displaystyle\int_\pi^0 \sin x \mathrm{ d} x \).

    Lösning

    Vi får att

    \( \displaystyle\int_0^\pi \sin x \mathrm{\,d} x+ \displaystyle\int_\pi^0 \sin x \mathrm{\,d} x = \displaystyle\int_0^0 \sin x \mathrm{\,d} x =0 \).

    För en bestämd integral gäller att \( \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x = \bigg/_a^b \;F(x)=F(b)-F(a).

    Finns på lite olika plattformar med olika kurser i CAD.

    • 8.

    Vi har en funktion som ser ut som

    Vi märker att funktionen är symmetrisk och att i intervallet \( -\pi \) till \( 2\pi \) 2 st hela områden, vid \( -\pi \) har vi ett mindre område och vid \( 2\pi \) ett lite större område.

    Därför är \( a=-1 \).

  • För vilket värde på \( a \) gäller att \( \displaystyle\int_0^3 (a^2t^3 +a) \textrm{ d}t = 0 \)? Den bestämda integralen betecknas \( \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x. Det vi då får är den motsatta bestämda integralen.

    \( \displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{ d}x = -\displaystyle\int_b^a f(x) \mathrm{ d}x.

    Matematisk skrivs detta som:

    [latex]
    \int f(x) , dx = F(x) + C
    [/latex]

    Här är:

    • [latex]\int[/latex] symbolen för integration.
    • [latex]f(x)[/latex] är den funktion som ska integreras.
    • [latex]dx[/latex] visar att integrationen sker med avseende på [latex]x[/latex].
    • [latex]F(x)[/latex] är antiderivatan till [latex]f(x)[/latex].
    • [latex]C[/latex] är integrationskonstanten, eftersom en obestämd integral representerar en familj av funktioner.

    Exempel på Obestämd Integral

    Låt oss beräkna den obestämda integralen av [latex]f(x) = 2x[/latex]:

    [latex]
    \int 2x , dx
    [/latex]

    Antiderivatan av [latex]2x[/latex] är [latex]x^2[/latex], så:

    [latex]
    \int 2x , dx = x^2 + C
    [/latex]

    Bestämda Integraler

    En bestämd integral representerar området under kurvan av en funktion [latex]f(x)[/latex] från ett startvärde [latex]a[/latex] till ett slutvärde [latex]b[/latex].

    Vår funktion ser ut som

    I intervallet är den ovan x-axeln.

    Alltså (observera att i första intervallet har vi funktionen under x-axeln.)

    \( \begin{array}{rcl} A & = & -3\displaystyle\int_{-2,82}^{0,32} (3\sin x - \cos x)\textrm{ d}x \\ & = & 18,97 \\ \end{array}\)

    Integrera på räknare, eller för hand.

  • Bestäm följande integraler.

    Det finns två huvudtyper av integraler:

    1. Obestämda integraler: Dessa representerar en familj av funktioner och används för att finna en antiderivata till en given funktion.
    2. Bestämda integraler: Dessa används för att beräkna det exakta värdet av ett område under en kurva mellan två gränser.

    Obestämda Integraler

    En obestämd integral är motsatsen till derivatan.

    I detta blogginlägg kommer vi att utforska integraler från grunden, diskutera deras olika typer, deras tillämpningar och ge exempel på hur man beräknar dem.

    Vad är en Integral?

    En integral är i grund och botten en matematisk operation som hjälper oss att beräkna områden, volymer och summor av kontinuerliga funktioner.

    \( f'(a) = 2a+2 \). Om funktionen är positiv över detta intervall, motsvarar integralen området mellan kurvan och x-axeln.

    Om funktionen däremot är negativ, kommer integralen att ge ett negativt värde, vilket motsvarar att området ligger under x-axeln.

    Vi börjar med att bestämma den primitiva funktionen.

    \( \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{a}^{a+1} x^2 + x +1 \textrm{ d}x & = & \bigg/_{a}^{a+1} \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + x \\ & = & \dfrac{1}{3}\cdot (a+1)^3 + \dfrac{1}{2}\cdot (a+1)^2 + (a+1) -(\dfrac{1}{3}\cdot a^3 + \dfrac{1}{2}\cdot a^2 + a) \\ & = & a^2 +2a + \dfrac{11}{6} \\ \end{array} \)

    Vi söker minsta värdet för uttrycket.