Relativitätstheorie geschwindigkeit formel

x’ = a + w’·t’        wobei  a  irgend eine Konstante bedeutet

Wir ersetzen nun einfach sowohl x’ als auch t’ durch Ausdrücke mit x und t gemäss den Lorentz-Transformationen:

x’ = ( x - v·t ) / √          und      t’ = ( t - x·v/c² ) / √

Somit schreibt sich obige Bewegungsgleichung als

( x - v·t ) / √    =  a + w’ · ( t - x·v/c² ) / √

Wir multiplizieren beidseits mit der Wurzel und erhalten

x - v·t   =  a·√  +  w’ · ( t - x·v/c² )      oder
x  =  a·√  +  v·t  +  w’ · ( t - x·v/c² )  =  a·√  +  v·t  +  w’· t  -  w’·x·v/c²

Daraus erhalten wir     x + x·w’·v/c² =   a·√  +  v·t  +  w’· t    oder
x·( 1 + w’·v/c² )  =  a·√  +  ( v  +  w’ ) · t

Dividieren wir noch durch den linken Klammerausdruck, so erhalten wir
x  =  a·√ / ( 1 + w’·v/c² )  +   ( v  +  w’ ) / ( 1 + w’·v/c² ) · t

Da sowohl die Wurzel als auch der Klammerausdruck konstant sind können wir hier ablesen, dass sich C für A mit der konstanten Geschwindigkeit  w  =  ( v  +  w’ ) / ( 1 + v·w’/c² )  entlang der x-Achse bewegt!

Wenn wir für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten, die parallel sind zur Relativgeschwindigkeit v, das Symbol ⊕  verwenden, so können wir zusammenfassen:

Mit dem Symbol  +  bezeichnen wir weiterhin die ‘gewöhnliche’ Addition.

Nach der galileischen Physik wäre das gerade die Summe der beiden Einzelgeschwindigkeiten, also 65 km/h. Entgegen ihrer etwas unglücklichen Bezeichnung handelt es sich nicht um eine simple Addtition von Zahlen, und wir sollten das Wort "Addition" hier nur unter Anführungszeichen verstehen.

Wie verhalten sich aber die Werte der Geschwindigkeit eines Objekts, die in verschiedenen Inertialsystemen gemessen werden, zueinander?

Stellen etwa wir uns vor,

• ein Zug fährt (relativ zu den Schienen) mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h, und
• innerhalb des Zuges rollt eine Bowlingkugel mit 5 km/h (relativ zum Zug) in Fahrtrichtung.

Wie groß ist die Geschwindigkeit der Bowlingkugel im Inertialsystem der Schienen?

Das System I' (genauer: sein Ursprung) bewegt sich im System I mit Geschwindigkeit u. Nun ziehen wir die Wurzel und sind am Ziel: Die gesuchte Geschwindigkeit w ist durch

gegeben.

So einfach und ansprechend unser zentrales Resultat, Formel (8), auch sein mag - die oben vorgeführte Herleitung ist umständlich. Die Effekte der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion ziehen eine Reihe von Konsequenzen nach sind. Dann werden die Raumzeit-Koordinaten x' und t' einer Lorentztransformation mit Geschwindigkeitsparameter u, (welches ja die Relativgeschwindigkeit zwischen I und I' darstellt) unterzogen, d.h.

Wir wollen zwei dieser Argumentationen - beide benötigen Vorgriffe auf spätere Abschnitte - kurz vorstellen.

• Formel (8) kann direkt - ohne viel physikalischen Nachdenkens - aus der Form der Lorentztransformation abgeleitet werden.
• Da sich die Kugel in I mit Geschwindigkeit w bewegt, gilt andererseits T₃  =  k_w T₁.

  In diesem Sinne kommt die relativistische Geschwindigkeitsaddition einfach durch die Multiplikation der k-Faktoren zustande.
  
  Diese Herleitung kann auch unter Zuhilfenahme des relativistischen Dopplereffekts, die mit der elementaren Regel des k-Kalküls identisch ist, physikalisch motiviert werden. (Zur Frage, was das Wort "geometrisch" hier bedeutet, siehe den Abschnitt über die Geometrie der Raumzeit).

  Dabei sollen alle auftretenden Bewegungen nur in einer Raumdimension stattfinden.

  

  Dabei wird die Bewegung unseres Objekts (Kugel), wie sie sich im System I' ausnimmt, in der Form  x' = v t'  angesetzt. Die folgende Abbildung (sie zeigt die räumlichen Koordinatensysteme, die Bewegung findet in horizontaler Richtung statt) illustriert, wie sich die Situation im System I darstellt:

  Nach der galileischen Physik wäre zu erwarten, dass w = u + v gilt.

  Alle Größen ausser den drei Geschwindigkeiten sind verschwunden, und wir erhalten

  w     =     u + v         _______ �1 - w2/c2  . ___________________    _______     _______ �1 - u2/c2   �1 - v2/c2

  (6)

  Diese Beziehung wird quadriert und ein bisschen umgeformt, sodass die Beziehung

  w2   =    (u + v)2 ___________ (1 + u v/c2 )2

  (7)

  entsteht.

  Näheres darüber kann auf der Seite

  Geometrische Deutung
  der relativistischen Geschwindigkeitsaddition
  - eine Überraschung
  (http://www.ap.univie.ac.at/users/fe/Rel/Geschwindigkeitsaddition/)
  

  nachgelesen werden. Schließlich ersetzen wir Dt' mittels (4), wodurch sich ein L' im Zähler gegen ein L' im Nenner wegkürzt.

  ein Teilchen (Photon), das sich im System I' mit Geschwindigkeit c bewegt, hat dann auch im Inertialsystem I die Geschwindigkeit c. In einem gegebenen Inertialsystem ist die Geschwindigkeit - wie üblich - als Quotient aus zurückgelegtem Weg und dafür benötigte Zeit definiert. Gilt diese Methode, Geschwindigkeiten zu addieren, auch in der Relativitätstheorie?

  Eigentlich müssen wir von vornherein erwarten, dass das nicht der Fall ist: Wenn sich etwa der Zug (relativ zu den Schienen) mit 3/4 der Lichtgeschwindigkeit bewegt und die Bowlingkugel (relativ zum Zug) ebenfalls mit 3/4 der Lichtgeschwindigkeit, so würde diese Methode auf die eineinhalbfache Lichtgeschwindigkeit für die Kugel im System der Schienen führen!

  Unter anderem ist der Begriff der Geschwindigkeit davon betroffen. Wir benützen (2), um Dt durch Dt_o und w auszudrücken, ersetzen dann mit Hilfe von (3) L durch L' und u und mit Hilfe von (5) Dt_o durch Dt' und v. Das wäre ein hübscher Widerspruch zur Aussage, dass sich kein materieller Körper schneller als das Licht bewegen kann (die im Abschnitt über die Zeitdilatation begründet worden ist).

  Tatsächlich gilt die Regel von der simplen Addition der Zahlenwerte der Geschwindigkeiten in der Speziellen Relativitätstheorie nicht.

  Um die Lage abzuklären, betrachten wir folgende Situation: Wir benötigen zwei Inertialsysteme - wir nennen sie I (Schienen) und I' (Zug) - und ein gleichförmig bewegtes Objekt (Bowlingkugel).