Fläche gleichseitiges dreieck formel
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Zuerst beschriften wir alle drei Seiten des Dreiecks mit , da sie gleich lang sind ():
Nun können wir eine Höhe in unser Dreieck einzeichnen:
Die Fläche ergibt sich also aus beiden Hälften des Dreiecks. Natürlich!
Ausgerechnet werden soll diesmal der Umfang.
U=3∙a=3∙4 cm=12 cm
Inkreis
Ein Inkreis von einem Dreieck ist der Kreis, der innerhalb des Dreiecks liegt und jede Seite des Dreiecks an genau einer Stelle berührt.
Umfang gleichseitiges Dreieck
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle drei Seiten a die gleiche Länge haben, ergibt sich für den Umfang die Formel
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Fläche gleichseitiges Dreieck
Für den Flächeninhalt im gleichseitigen Dreieck gibt es eine extra Formel.
Flächeninhalt: Gleichseitiges Dreieck
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen. So entsteht die Formel
.
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Ein gleichseitiges Dreieck hat mit der Höhe h, der Seite a und der halben Seite ein rechtwinkliges Dreieck.
Ausgerechnet werden soll die Höhe.
| ha | = | |
| = | ||
| = | 3∙2 cm | |
| ≈ | 3,46410 cm |
Flächeninhalt
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man, indem man eine Seite als Grundseite auswählt, die Länge der Grundseite mit der dazugehörigen Höhe multipliziert und das Ergebnis durch 2 teilt.
Wenn man die Seite mit der Seitenlänge a als Grundseite wählt und ha die dazugehörige Höhe ist, dann berechnet man den Flächeninhalt wie folgt:
Man kann den Flächeninhalt, wenn die Seitenlänge bekannt ist, auch direkt berechnen, ohne vorher die Höhe zu berechnen.
Bei einem gleichseitigen Dreieck liegen diese Berührungspunkt genau in der Mitte der Seiten.
In einem Dreieck liegt der Mittelpunkt vom Inkreis dort, wo sich die 3 Winkelhalbierenden schneiden.
Es gilt: sowie . Jetzt kennst du die wichtigsten Formeln zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks.
Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.
Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)
Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist .
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Beispiel 1
Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit ?
Formel aufschreiben
Wert für einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel 2
Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit ?
Formel aufschreiben
Wert für einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiel 3
Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit ?
Formel aufschreiben
Wert für einsetzen
Ergebnis berechnen
Gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten.
Sie hängt nur von der Seitenlänge a ab.
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Höhe gleichseitiges Dreieck
Um die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen zu können, nutzt du den Satz des Pythagoras . Viel Spaß!
zur Videoseite: Gleichseitiges Dreieck
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gleichseitige Dreiecke - Rechner
Mit diesem Rechner lassen sich von einem gleichseitigen Dreieck die Höhe, der Flächeninhalt, der Umfang, der Inkreisradius und der Umkreisradius berechnen.
Formeln
| Höhe | ha = |
| Flächeninhalt | A = = |
| Umfang | U = 3 ∙ a |
| Inkreisradius | ri = |
| Umkreisradius | ru = |
Seitenlängen und Winkel
Ein gleichseitiges Dreieck ist, wie der Name schon sagt, ein Dreieck, bei dem alle 3 Seiten die gleiche Länge haben.
Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle 3 Seiten die gleiche Länge haben, rechnet man bei gegebener Seitenlänge a:
U=3∙a
Beispiel:
Die Seitenlängen eines gleichseitigen Dreiecks betragen wieder 4 cm. Dann erhält man:
Dies lässt sich noch vereinfachen:
Beispiel:
Alle 3 Seiten von einem Dreieck haben eine Seitenlänge von jeweils 4 cm.
Damit hat dieses gleichseitige Dreieck die Fläche 3,90m².
Herleitung
Allgemein gilt in jedem Dreieck die Formel für den Flächeninhalt
.
Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck hast du eine extra Formel kennengelernt.
Mit dieser Formel kannst du die Höhe in der ersten Gleichung ersetzen, um bei einem gleichseitigen Dreieck den Flächeninhalt zu berechnen.
Damit du auch denFlächeninhalt von Dreiecken mit unterschiedlich langen Seiten bestimmen kannst, solltest du dir unbedingt unser Video dazu anschauen. Es gilt also ha = hb = hc.
Der Mittelpunkt vom Umkreis eines Dreiecks liegt dort, wo sich die 3 Mittelsenkrechten der 3 Seiten schneiden.
In einem gleichseitigen Dreieck liegt dieser Punkt, genau so wie beim Inkreis, dort, wo sich die 3 Höhen schneiden.
Der Umkreisradius lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
| A | = | |
| ≈ | ||
| = | 2 cm∙3,46410 cm | |
| = | 6,92820 cm² |
Umfang
Um den Umfang von einem Dreieck zu berechnen, müssen die Längen der 3 Seiten zusammenaddiert werden.
Wir benötigen nun die Formel für die Höhe .